Ейлер Леонард
1707 - 1783 р. н.
Теорема Ейлера про число граней, вершин і ребермногогранника: для будь-якого опуклого многогранника справедливе співвідношення Г+В –Р=2, де Г– кількість граней, В – кількість вершин, Р– кількість ребер даного многогранника. Теорему Ейлера історики — математики називають першою теоремою топології - крупного розділу сучасної математики.
Характеристики правильних многогранників



Правильні многогранники
Фізика і многогранники

Піраміди в космосі
Найбільш приголомшеними знахідками минулого століття сталі дані НАСА. В 1976 р. американськийкосмічний апарат “Вікінг”, облітаючи Марс, зафіксуваві передав на землю дані про спорудина поверхні червоної планети в області Кідонії. Ця сенсація була офіційно підтверджена лише в листопаді1994 р. В Кідонії було помічено 25 пірамід, з них 5 великих, 20 малих. Сторони основи великих пірамід Марса досягають 1,5 км при висоті в 1 км. Малі піраміди в декілька разів більші великих пірамід Гіз, а весь комплекс розташований на площі 25 км.

Молекула фулерена C60
Фуллерени, каркасні молекули із атомів вуглеводів, найбільш поширеним є фулерен C60 – сфера, яка складається із шістдесятьох атомів вуглеводів. Синтезовані у 1985 році.



Історична цінність пірамід – наявність великої кількості енергії, створеної завдяки правильності форми пірамід. Створювані поля усередині пірамід дозволяють нейтралізувати негативну енергію і перетворити її у позитивну. Єдина система пірамід на планеті координує процес перетворення енергії в просторі і в часі.

Правильні многогранники в хімії.


Фосфорнуватиста
кислота Н3РО2
Молекула фосфорнуватистої кислоти має форму тетраедра з атомом фосфору у центрі, у вершинах тетраедра знаходяться два атоми водню, атом кисню і гідроксогрупи.
Кристали кухонної солі — маленькі кульки — йони хлору, а більші - йони натрію. Всі кристали кухонної солі мають однакову кубічну форму.
Правильні многогранники в біології.

В біології німецький біолог начала ХХ століття Еге Геккель дослідив, що одноклітинні організми – феодарії, точно передають форму ікосаедра.

Кристали алмазу


Кристали алмазу зазвичай мають форму октаедра. Алмаз (з грецької adamas – нездоланний) – безбарвний або забарвлений кристал з сильним блиском у вигляді октаедра.




У вигляді додекаедрів виготовляють “всенапрямлені” динаміки.


Сім Чудес Світу і сучасна архітектура


Александрійський маяк
У 285 році до н.е. на острові Фарос архітектор Сострат Кнідський приступив до будівництва маяка. Маяк будувався п'ять років і вийшов у вигляді триповерхової башти заввишки 120 метрів. У підставі він був квадратом із стороною тридцять метрів, перший 60- метровий поверх башти був складний з кам'яних плит і підтримував 40 метровувосьмигранну башту, фанеровану білим мармуром. На третьому поверсі, в круглій, обнесеній колонами башті, вічногоріло величезне вогнище, що відбивалося складною системою дзеркал.

Висячи сади Семіраміди

Палац Навуходоносора був побудований для йогодружини Семіраміди на величезному цегляномумайданчику, що високо піднімався над навколишньоюмісцевістю. П'ять дворів прямували один за іншим зісходу на захід, в двори виходили двері багаточисельних кімнат. Фасад прикрашали стрункі жовтіколони із блакитними завитками. Вікон не було, і світлопроникало через троє широких дверей. Висячі садиприкрашали північну - західну частину палацу. Насклепінчастих арках з цеглини були розташованітераси, що нагадують уступи гір. Поверх цегли залитий асфальт, на нім – свинцеві плити, а на них насипаний шар родючої землі і посаджені дерева, кущі і квіти.Здалека здається, що ці сади як би висять в повітрі.

Правильні многогранники відомі з найдавніших часів. Їх орнаментні моделі можна знайти на різьблених кам'яних кулях, створених в період пізнього неоліту, в Шотландії, як мінімум за 1000 років до Платона. У кістках, якими люди грали на зорі цивілізації, вже вгадуються форми правильних многогранників.

Значною мірою правильні многогранники були вивчені древніми греками. Деякі джерела (такі як Прокл Діадох) приписують честь їхнього відкриття Піфагору. Інші стверджують, що йому були знайомі тільки тетраедр, куб і додекаедр, а честь відкриття октаедра і ікосаедра належить Теетет Афінському, сучасника Платона. У будь-якому випадку, Теетет дав математичний опис всіх п'яти правильних многогранників і перше доказав тоді, що їх рівно п'ять.

Правильні многогранники характерні для філософії Платона, в честь якого і отримали назву «Платонові тіла». Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. Е.), Де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певного правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води.
З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка». Аристотель додав п'ятий елемент - ефір і постулював, що небеса зроблені з цього елемента, але він не зіставляв його платонівському П'ятому елементу.

Італьянський вчений францисканець Лука Пачолі на межі 15-16 століття писав і публікував математичні роботи, які ілюстрували відомі художники, серед них Леонардо да Вінчі.



Полотно, на якому написана "Таємна вечеря" Сальвадорі Далі має форму золотого прямокутника. Золоті прямокутники менших розмірів використані митцем при розміщенні фігур дванадцяти апостолів. В центрі картини розташований додекаедр.
Евклід дав повне математичний опис правильних многогранників в останній, XIII книзі Почав. Пропозиції 13-17 цієї книги описують структуру тетраедра, октаедра, куба, ікосаедра і додекаедра в даному порядку. Для кожного многогранника Евклід знайшов відношення діаметра описаної сфери до довжини ребра. У 18-м реченні стверджується, що не існує інших правильних многогранників. Андреас Шпейзер відстоював точку зору, що побудова п'яти правильних многогранників є головною метою дедуктивної системи геометрії в тому вигляді, як та була створена греками і канонізована в «Засадах» Евкліда. Велика кількість інформації XIII книги «Начал», можливо, взято з праць Теетет.
У XVI столітті німецький астроном Йоганн Кеплер намагався знайти зв'язок між п'ятьма відомими на той момент планетами Сонячної системи (виключаючи Землю) і правильними многогранниками. У «Таємниці світу», опублікованій в 1596 році, Кеплер виклав свою модель Сонячної системи. В ній п'ять правильних многогранників містилися один в інший і поділялися серією вписаних і описаних сфер. Кожна з шести сфер відповідала одній з планет (Меркурія, Венери, Землі, Марса, Юпітера і Сатурну). Многогранники були розташовані в наступному порядку (від внутрішнього до зовнішнього): октаедр, за ним ікосаедр, додекаедр, тетраедр і, нарешті, куб. Таким чином, структура Сонячної системи і відносини відстаней між планетами визначалися правильними многогранниками. Пізніше від оригінальної ідеї Кеплера довелося відмовитися, але результатом його пошуків стало відкриття двох законів орбітальної динаміки - законів Кеплера, - змінили курс фізики та астрономії, а також правильних зірчастих многогранників (тіл Кеплера-Пуансо).

Блог

Людина проявляє інтерес до многогранників протягом усього свого свідомого діяльності - від дворічної дитини, що грає дерев'яними кубиками, до зрілого математика. Особливий інтерес до багатокутників і многогранників пов'язаний з красою і досконалістю форми. Вони досить часто зустрічаються в природі. Досить згадати форму сніжинок, граней кристалів. Поняття многогранника є одним із центральних у курсі стереометрії. Многогранники цікаві й самі по собі. Вони мають цікаві форми. Форми многогранників знаходять широке застосування в конструюванні складних і красивих многогранних поверхонь, які використовуються в дійсних архітектурних проектах. Йде це з глибокої давнини. Силуети кам'яних церков і соборів, як правило, вписуються у форму піраміди. Тільки невідступно слідуючи законам геометрії, архітектори давнини могли створити свої шедеври. Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії, а грецька архітектура - зовнішнє вираження геометрії Евкліда.
Назви правильних многогранників надійшли з Греції. У дослівному перекладі із грецької " тетраедр " , " октаедр " , " гексаедр " , " додекаедр " , " ікосаедр " означають: " чотиригранник " , "п’ятигранник " , " шестигранник " . " дванадцятигранник " , " двадцятигранник " . Цим гарним тілах присвячена 13-та книга Евкліда. Їх ще називають тілами Платона, тому що. вони займали важливе місце у філософської концепції Платона про побудову світобудови. Чотири многогранника уособлювали у ній чотири сутності чи "стихії " . Тетраедр символізував вогонь, тому що його вершина спрямована вгору; ікосаедр - воду, тому що він є " обтічний " ; куб - землю, як найбільш " стійкий " ; октаедр - повітря, як найбільш " повітряний " . П'ятий многогранник, додекаедр, втілював у собі " все суще" , символізував все світобудову, вважався головним.
Гармонійні відносини древні греки вважали основою світобудови, тому чотири стихії були пов'язані такою пропорцією: земля/вода=повітря/огонь. Атоми " стихій " настроювалися Платоном в скоєних консонансах, як чотири струни ліри. Консонансом називається приємне співзвуччя. Треба сказати, що своєрідні музичні відносини у Платонових тілах є суто умоглядними і не мають під собою жодної геометричної основи. Цими відносинами не пов'язані ні число вершин Платонових тіл, ні об’єми правильних многогранників, ні число ребр чи граней.
У зв'язку з цими тілами доречно буде сказати, що як перша система елементів, куди входили чотири елемента - земля, вода, повітря і вогонь, - була канонізована Аристотелем. Ці елементи залишалися чотирма наріжними каміннями світобудови багатьох століть. Цілком можливо ототожнити їх з такими відомими нам чотирма станами речовини - твердим, рідким, газоподібним і плазміне.
Важливе місце займали правильні многогранники у системі гармонійної світобудови І. Кеплера. Та сама віра у гармонію, вроду й математично закономірну світобудову, привела І. Кеплера до думки, що існує п'ять правильних многогранників, їм відповідають тільки шість планет. На його думку, сфери планет пов'язані між собою вписаними Платоновими тілами. Коли в кожному правильному многограннику центри вписаної і описаної сфер будуть збігатися, то вся модель матиме єдиний центр, у якому буде перебувати Сонце.
Проробивши величезну обчислювальну роботу, в 1596 р. І. Кеплер у книзі " Таємниця світобудови " опублікував результати свого відкриття. До сфери орбіти Сатурна він вписує куб, в куб - сферу Юпітера, до сфери Юпітера - тетраедр, тощо послідовно вписуються один одного сфера Марса - додекаедр, сфера Землі - ікосаедр, сфера Венери - октаедр, сфера Меркурія.
Де ще можна побачити ці дивовижні тіла? У дуже красивій книзі німецького біолога початку ХХ століття Еге. Геккеля " Краса форм у природі " можна прочитати такі рядки: " Природа вигодовує своєму лоні невичерпне кількість дивних створінь, котрі за до краси і розмаїттям далеко перевершують все створені мистецтвом людини форми " . Творіння природи, які наведені у цій книжці, будуть вродливі й симетричні. Це невід'ємна властивість природної гармонії. Але тут також і одноклітинні організми - феодарії, форма яких точно передає ікосаедр. А чим викликана така природна геометрична властивість? Можливо, тим, що із усіх многогранників з такою самою кількістю граней саме ікосаедр має найбільший обсяг і найменшу площа поверхні. Ця геометрична властивість допомагає морському мікроорганізму долати тиск водної товщини.
Цікаво відзначити й те, що саме ікосаедр був у центрі уваги біологів у суперечках щодо форми вірусів. Вірус може бути цілком круглим, як вважалося раніше. Щоб виявити його форму, брали різні многогранники, направляли ними світло під тими самими кутами, як і потік атомів на вірус. Виявилося, лише один многогранник дає точно таку ж тінь - ікосаедр. Його геометричні властивості, про які йшлося вище, дозволяють заощаджувати генетичну інформацію. Правильні многогранники - найвигідніші постаті. І природа цим широко користується. Кристали деяких знайомих нам речовин мають форму правильних многогранників. Так, куб передає форму кристалів кухонної солі NaCl. Правильні многогранники визначають форму кристалічних решіток деяких хімічних речовин.
Ідеї Піфагора, Платона, І. Кеплера: зв'язок правильних многогранників з гармонійною світобудовою пізніше знайшли собі продовження в цікавій наукової гіпотезі, авторами якої (на початку 1980-х років) були московські інженери У. Макаров і У. Морозов. Вони вважають, що ядро Землі має форму і властивості зростаючого кристала, що впливає на розвиток всіх природних процесів. Промені цього кристала, а точніше, його силове полі, зумовлюють ікосаедра- додекаедричну структуру Землі. Їх 62 вершини і середини ребр, званих авторами вузлами, мають ряд специфічних властивостей, дозволяють пояснити тільки деякі незрозумілі явища.